Математика. Тарасова М.В. Тема «Проценты» по учебному комплекту под редакцией Г.В. Дорофеева для V – IX классов.

М.В. ТарасоваАвтор: Тарасова Мария Валентиновна

Впервые о процентах учащиеся узнают в VI классе. Проценты предлагается рассматривать дважды: в начале учебного года, т.е. еще до изучения десятичных дробей (при повторении и систематизации материала, связанного с обыкновенными дробями), а затем в середине учебного года после изучения десятичных дробей.

«Что такое процент» – это первая тема, изучаемая линией. На данном этапе нужно сформировать понимание процента как специального способа выражения доли величины, выработать умение выражать процент соответствующей обыкновенной дробью. Процент определяется как одна сотая часть некоторой величины. Через систему упражнений учебника ребята учатся употреблению нового термина, «переводу» задач с языка долей и дробей на язык процентов и обратно. В результате еще до решения основных задач на проценты, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые помогают им в дальнейшем.

Так, они усваивают некоторые «эквиваленты»: 25% величины – это 1/4 данной величины; половина некоторой величины – это 50%; 30% величины втрое больше, чем 10% и т.п.

Ребята учатся сравнивать доли величины, заданные разными способами:

1/3 больше, чем 25%;

7/12 некоторой величины больше 50% этой величины;

23% меньше четверти; вся величина – это 100% и т.д.

Предлагаются упражнения, направленные на осознанное усвоение материала.

+№ 90. [6 кл] Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу в правом:

1. 100% учащихся школы             а) половина всех учащихся школы

2. 25% учащихся школы               б) все учащиеся школы

3. 10% учащихся школы               в) четверть всех учащихся

4. 50% учащихся школы               г) десятая часть всех учащихся.

С самого начала освоения понятия учащимся рекомендуется давать больше заданий, в которых требуется заштриховать, закрасить, начертить, вырезать часть фигуры. Такого типа упражнения не встречаются в вышерассмотренных учебниках.

+№ 88. [6 кл] Какая часть прямоугольника заштрихована (см. рис. 2)? Выразите эту часть в процентах.

      

Рис. 2

Учащихся также нужно познакомить с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации.

+№ 112. [6 кл] Объясните, используя слово «процент», что означают следующие утверждения:

а) 10 москвичей из каждых 100 нуждаются в улучшении жилья;

б) 43 человека из каждых 100 доверяют гороскопам и постоянно читают их;

в) из каждых 100 новорожденных 52 – мальчики;

г) из каждых 100 жителей Брянска 25 имеют домашних животных.

Теперь, когда учащиеся достаточно свободно и осознанно владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент, а потом несколько процентов этой величины.

Что касается второго приема решения (путем умножения на обыкновенную дробь), то здесь он, конечно, рассматривается, но его обязательное усвоение следует отнести на более поздние сроки.

Специальная серия задач посвящена трудному вопросу об увеличении на 200%, 300% и т.д. Так учащиеся постепенно подходят к пониманию того, что, например, увеличение на 100% - это то же самое, что увеличение в 2 раза и т.д.

+№ 123 [6 кл] Цена билета от города Белогорска до города Черноморска в купейном вагоне на 100% выше, чем в плацкартном (рис.1). Во сколько раз проезд в купейном вагоне дороже проезда в плацкартном?

К задаче приведен рисунок для того, чтобы ход решения был более понятным (см. рис. 3).

    

                       Рис. 1

Второй этап в изучении процентов связывается с десятичными дробями. После изучения десятичных дробей и операций над ними нужно снова возвратится к понятию процента. Здесь предлагается два специальных пункта. В пункте «Главная задача на проценты» школьники учатся находить процент величины умножением на десятичную дробь. Прежде чем приступить к решению задач, нужно рассмотреть с учащимися правило и упражнения на перевод процентов в десятичную дробь.

«Чтобы выразить проценты десятичной дробью, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100 или, что то же самое, умножить на 0,01»

+ № 597. [6 кл] Выразить десятичной дробью:

а) 112%, б)175%, в) 120%, г) 250%, д)105%, е)101%.

Образец: 130% – это130/100=1,3

Предлагается рассмотреть разные способы решения той или иной задачи.

+Пример 2. [6 кл, п. 6.3.] Мужская рубашка стоила 120 р. Сколько она стала стоить, когда ее цена увеличилась на 35%?

Так как 35% – это 0,35, то надо найти 0,35 от 120 р.:

120·0,35=42 (р.) (на столько повысилась цена).

Теперь найдем новую цену:

120+42=162 (р.).

Можно рассуждать иначе. Старая цена составляет 100%, а новая – на 35% больше, т.е. она составляет 135%. Так как 135% – это 135:100=1,35, то цена увеличилась в 1,35 раза.

Имеем:   120·1,35=162(р.).

В пункте «Выражение отношения в процентах» центральной является задача об определении того, сколько процентов одна величина составляет от другой.

+№ 627 (6 кл.). В избирательном округе 2500 избирателей. В голосовании приняли участие 1300 избирателей. Какой процент избирателей участвовал в голосовании?

Здесь принят подход, в соответствии с которым сначала находят, какую часть одна величина составляет от другой, выражают ее при необходимости десятичной дробью, а затем – в процентах.

Не следует торопиться приступать к решению новых задач. В учебнике предлагается система упражнений, в которых предлагается выразить дробь (обыкновенную или десятичную) в процентах.

+№ 623. [6 кл] Прочитайте предложение, выразив дробь в процентах:

а) бензином заполнили 9/10 бака;

б) 2/5 учащихся школы едут в школу на автобусе;

в) масса сушеной вишни составляет 6/25 массы свежей вишни;

г)магазин продал 17/20 привезенного сахара.

Одна из особенностей вычислительной линии курса состоит в формировании умений выполнять прикидку или оценку результата вычислений. При изучении процентов эта работа, естественно, продолжается. Учащимся предлагаются задачи из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины. Для этого достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. Так, если требуется прикинуть, чему равно 19% от какой-либо величины, то находят 20% этой величины, т.е. ее пятую часть.

+№ 618. [6 кл] Перед Новым годом магазин снизил цены на товары на 25%. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если до снижения она составляла 799 руб.? 1980 руб.? 11890 руб.?

+№ 634. [6 кл] Часть фигуры заштрихована (см. рис 4.). Определите, какой примерно процент фигуры заштрихован, выбрав наиболее подходящий ответ из данных.

Рис. 4

Третий этап в изучении процентов отнесен к 7 классу. В силу возрастных возможностей семиклассников и уже накопленного ими опыта работы с процентами учащимся становятся доступными многие вопросы из тех, что традиционно не рассматривались со всем классом, а изучались лишь в качестве дополнительных в работе с сильными учениками. Учащиеся уже знакомы со всеми основными видами задач, теперь они осваивают другие способы их решения, которые были им неизвестны.

В первой главе учебника выделен пункт «Решение задач на проценты», в котором помещен материал, позволяющий вспомнить сведения из шестого класса и продвинуться в решении задач. Теперь есть возможность рассмотреть более сложные в техническом отношении задачи. Они требуют достаточно прочного навыка представления процентов дробью и наоборот, умение находить процент от величины, понимание того, какая из величин, участвующих в задаче, принимается за 100%. Поэтому в начале теоретической части пункта рассматриваются приемы, с помощью которых десятичная дробь выражается в процентах и наоборот; здесь специально выделяется вопрос о «маленьких» (меньше 1%) и «больших» (больше 100%) процентах, как наиболее трудный для усвоения.

+№ 74. [7 кл] В состав одного из поливитаминов входят минералы в следующих количествах: кальций и фосфор – по 4%, магний – 1,6%, железо – 0,07%, цинк – 0,06%. Сколько миллиграммов каждого минерала содержится в одной таблетке поливитамина, масса которой 25 г?

№ 75. [7 кл] В декабре рабочим была выплачена премия в 250% ежемесячной зарплаты. Какую премию получил рабочий, зарплата которого была 6000 р.?

Предлагаемые в системе упражнений задачи, как правило, допускают разные способы рассуждений, и учащиеся самостоятельно выбирают более удобный и понятный для себя.

Кроме задач на нахождение процента от величины, рассматриваются задачи на нахождение величины по известному ее проценту.

+№ 130. [7 кл] После повышения цены на 30% книга стала стоить 182 рубля. Сколько стоила книга до повышения цены?

Решение. Первоначальная цена книги составляет 100%. Поэтому 52 руб., т.е. цена после подорожания, составляет 100%+30%=130% от первоначальной цены. Теперь можно решить задачу на нахождение величины по известному ее проценту.

Рассуждать можно по-разному:

  1.  1% – это 52: 130=0,4(руб.), а 100% – это 0,4· 100=40(руб.);
  2.  10% – 52:13=4(руб.), 100% – это 4·10=40(руб.);
  3.  130% – это 1,3, поэтому 52 руб. составляют 1,3 первоначальной цены, а поэтому первоначальная цена равна 52:1,3=40(руб.).

При изучении следующей главы «Отношения и пропорции» учащиеся активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новый. В систему упражнений нужно включить новые задачные ситуации.

+№ 208. [7 кл] Из лекарственных трав – шалфея, ромашки валерьяны – составили сбор, взяв их в отношении 2:5:3. Какой процент этого сбора составляет каждая из трав? («Деление в данном отношении»)

+№ 177. [7 кл] Отчет группы исследователей был распечатан на принтере 30 минут. За какое время можно было распечатать этот отчет на принтере, производительность которого на 50% меньше? («Прямая и обратная пропорциональность»)

В VIII классе в теме «Алгебраические дроби» учащиеся снова обращаются к задачам на проценты. Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» – это хорошие примеры практических задач, позволяющих продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того чтобы помочь учащимся осознать на новом уровне подход к решению задач с процентами, стоит обратить их внимание на то, что в учебнике приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу учащиеся при желании может вернуться вновь и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи.

+№ 187. [8 кл] Разберите, как по условию задачи составлено уравнение и решите задачу. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы доход 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк?

Решение. Пусть х руб. – сумма, которую клиент внес в банк. Тогда (х+800) руб. было бы на вкладе, если бы клиент добавил 800 руб.;

0,11(х+800) руб. – доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы.

Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство:

0,11(х+800)=220.

+№ 205. [8 кл] Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г., содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков?

При изучении темы «Системы уравнений» школьникам важно показать новый метод решения задач на проценты. Учащимся предлагается план решения.

В IX классе в главе «Дробные уравнения» также можно предложить задачи на проценты, решение которых основано на составлении дробных рациональных уравнений.

+№ 419. [9 кл] На первые и вторые премии в конкурсе студенческих дипломных работ было выделено 15 тыс. р., причем 40% этих денег пошло на первые премии. Вторых было выдано на 4 больше, чем первых. Сколько студентов получили первые премии и сколько вторые, если известно, что вторая премия составляла 50% первой?

Завершается линия процентных вычислений в IX классе темой «Простые и сложные проценты», включенной в изучение главы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Возможность опереться на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты.

В учебнике не вводятся формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа. В теме широко используется калькулятор, который позволяет рассматривать самые разнообразные задачи.

+№ 639. [9 кл] Один из акционеров предприятия имеет 100 акций, номинальная стоимость каждой из которых 50 р. Ежегодно ему выплачивается с каждой акции доход в 40% от ее номинальной стоимости.

а) Какой доход получит акционер за 1 год; за 2 года; за 10 лет; за n лет?

б) Через сколько лет его общий доход превзойдет удвоенную стоимость акций?

Авторы предлагают также задачи аналитического характера.

+№ 654. [9 кл] Виктор вложил на десять лет по 1000 р. на два разных счета – с 10% годовых и 20% годовых.

а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год? Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?

б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвертый год? Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?

Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?

В ходе решения предлагаемых авторами задач учащиеся видят, что понятия арифметической и геометрической прогрессии, а также формулы их сумм – это не просто абстрактное отвлеченное понятие, а конкретное математическое знание, необходимое для жизни.

В данном курсе в русле новой содержательной линии «Анализ данных» формулируются приемы сбора, представления и анализа информации, так или иначе связанной с процентами.

Проценты также используются в VIVII классах для представления информации в виде таблиц и диаграмм, а VIIIIX классах – при изучении вероятно-статистического материала.

+№ 675. [9 кл] Закинул старик в реку невод. Пришел невод с таким уловом (в порядке вытаскивания):

П, О, Л, С, Я, П, К, О, З, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О, П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, З, К, Я, П, З, С, О,О, Я, П, П, О, Л, С, Л, С, П,О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л, П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, З.

Буквами обозначены: З – Золотая рыбка; К – Карась; Л – Лещ; О – Окунь; П – Пескарь; С – Сом; Я – Язь.

а) Произведите ранжирование ряда данных в алфавитном порядке.

б) Составьте таблицу относительных частот.

в) Какой процент пойманной рыбы составляют золотые рыбки?

г) Используя полученную стариком выборку, оцените, какие виды рыб наиболее и наименее распространены в местах, где старик закинул невод.

Таким образом, авторы данного курса уделяют большое внимание понятию процента. С помощью богатого задачного материала учащиеся могут увидеть все разнообразие применения данного математического термина.

Можно заметить, что понятие процента, как математически тривиального, вводится уже в младших классах среднего звена. В силу их возрастных особенностей и невысокой математической грамотности учащиеся не могут ознакомиться со всем спектром задач на проценты. В VIIIX классах данный термин забывается, и простейшие задачи шестого класса становятся для школьников сложными. Поэтому я считаю целесообразным уделять процентам больше внимания, как это сделано в учебном комплекте под редакцией Г. В. Дорофеева.

Практикум

Участники семинара работают в парах.

Каждой паре предложено решить по 1 задаче на проценты (из 6,7,8 и 9 классов).

У некоторых пар задачи совпадают.

После обсуждения решения предложить свой вариант решения.

1 задача

№ 93 [7 класс]

Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги? 

Вся методика обучения решению задач, принятая в учебнике, позволяет показать учащимся наглядный способ их решений с помощью рисунков (см. рис. 1). Хотя, конечно, эти задачи можно решать и арифметически.

Решение:

Цена альбома – 100%. Изобразим ее каким–либо отрезком

Увеличим этот отрезок на 25% т.е. на 1/4 его части; получим отрезок, соответствующий цене книги.

Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на 1/5 этого отрезка. Так как 1/5 составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.

Рис. 1

2 задача

№ 92 [7 класс]

В школе 16% девочек и 28% мальчиков занимаются в спортивных секциях. Сколько всего процентов школьников занимается в спортивных секциях, если число мальчиков и число девочек в школе одинаково?

РЕШЕНИЕ:

1) Найдем 16% от 50%

0,16·50%=8% - учащихся школы составляют девочки-спортсменки.

2) Найдем 28% от 50%

0,28·50%=14% - учащихся школы составляют мальчики-спортсмены.

3) 8%+14%=22% - составляют школьники, которые занимаются в спортивных секциях. 

 3 задача

№ 656 [8 класс]

В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу?

РЕШЕНИЕ:

Пусть X мл – 60%-ного раствора соли,   Y мл – 80%-ного раствора соли.

 

 

6(35 – y)+8y=252

210+2y=252

2y=42

y=21

1) 35 – 21=14(мл) – 60%-ного раствора налили в колбу

Ответ: 21 мл 80%-ного раствора и 14 мл 60%-ного раствора налили в колбу.

4 задача

№ 659 [9 класс]

Ирина внесла в январе 1000 р. на счет, по которому ежемесячно Начисляется 2%. И затем каждый месяц в течение года она вносила на этот счет еще по 1000 р., не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей будет на счете в конце декабря?

РЕШЕНИЕ:

Идет последовательное накопление денег на счете:

Январь

1000 р.

Февраль

1000·1,02+1000 (р.)

Март

1000·1,022+1000·1,02+1000

 

декабрь

 

Ответ: на счете Ирины в конце декабря будет 13412 рублей.